l'Ecole Valdôtaine

Matematica in mostra

Una mostra interattiva e coinvolgente, fruibile a più livelli, sulla simmetria è stata per gli alunni della Scuola Media di Pont Saint Martin lo stimolo iniziale per un percorso di studi da continuare in classe.

"Si ponga attentissima cura nell'insegnare con animo lieto: tanto maggiore sarà l'efficacia quanto maggiore la letizia... L'interesse personale eccita gagliardamente l'attenzione."

Sant'Agostino dal "Metodo per catechizzare gli indotti"

Nel marzo 2002 ho visitato ad Ivrea la mostra itinerante "Simmetria, giochi di specchi" curata dal Dipartimento di Matematica "F. Enriques" dell'Università degli Studi di Milano e sono subito rimasta colpita dalle potenzialità che essa offriva.
Innanzitutto era interattiva, vale a dire permetteva non solo di essere osservata ma di creare gli oggetti stessi dell'osservazione; era inoltre fruibile a più livelli in quanto, sotto le piacevoli spoglie del gioco, induceva a riflessioni via via più profonde su di un concetto matematico importante; trattava un argomento di ampio respiro: la simmetria coinvolge infatti campi molto distanti fra loro dall'architettura alla biologia, dalla fisica alla musica e alla poesia; infine permetteva di sfatare, almeno per una volta, l'idea di una matematica vissuta come "non sense" accettata dall'allievo per compiacere le bizzarrie dell'insegnante.
Nel contesto tematico del concetto di trasformazione, trattato in questo numero della rivista, mi è sembrato opportuno inserire quest'esperienza anche per il significato che ha in matematica il termine trasformazione: "Gli oggetti materiali possono muoversi, ma le figure geometriche non si muovono esse sono già presenti. Ciò che interessa quando ci sono due o più figure simultaneamente è la maniera in cui si corrispondono. La trasformazione mette potenzialmente in corrispondenza tutti i punti di partenza con tutti i punti di arrivo."

(dal Dizionario di Matematica Elementare di Stella Baruk)

La mostra ha suscitato molto interesse nel mondo della scuola e non solo. Prova ne è una nutrita rassegna stampa che sottolinea gli aspetti della comunicazione adeguata e piacevole di un concetto matematico e della dimensione ludica delle attività proposte.
"Non solo teorie geometriche ma anche giochi, curiosità e un po' di mistero".

Dal Corriere della Sera

"... La matematica si può anche vedere, magari tra le pieghe di una mostra piena di colori".

Da La Repubblica

"Simmetria, giochi di specchi"
Una mostra a misura di studente

Progetto
Mostra sulla Simmetria

Ideazione e conduzione
Dipartimento di Matematica "F. Enriques" dell'Università degli Studi di Milano

Periodo
Dal 2 al 15 Dicembre 2002

Istituzioni coinvolte
Tutte

Insegnanti coinvolti nell'organizzazione della mostra
I Consigli di Classe delle classi prime del Liceo Classico e del Liceo Artistico

Guide
I ragazzi delle prime del Liceo Classico ed Artistico di Aosta

Coordinamento
Gianna Bellò

L'importanza di quest'evento culturale in ambito nazionale ed internazionale mi ha convinta a riproporlo anche nella nostra Regione.
In quanto responsabile del Centro Risorse per la Didattica della Matematica ho contattato l'ideatrice della mostra, la professoressa Maria Dedò e ne ho proposto l'allestimento ad Aosta. L'Università di Milano ha accettato e nel dicembre 2002 abbiamo realizzato l'esposizione nella Caserma Ramires. Nella sala d'ingresso, appoggiati su grandi tavoli, campeggiavano specchi pronti a catturare e rinviare immagini; c'era anche un tavolo riservato a lavori prodotti dagli alunni: studi di simmetrie rilevate nelle foglie, caleidoscopi colorati, brani costruiti solo con lettere simmetriche, fotografie e disegni di edifici di un paese divenuti per l'occasione oggetti matematici. Per due settimane consecutive, nella sala, classi di bambini e ragazzi operosi e chiassosi hanno giocato, si sono stupiti, hanno curiosato, disegnato, sperimentato, imparato.

"La simmetria è una presenza importante nell'arte e nella natura".

UNA MOSTRA PER "FARE ESPERIENZA DI MATEMATICA"

La mostra è stata davvero coinvolgente. Un vero laboratorio dove, utilizzando "macchine per la simmetria" (intriganti specchi incidenti) si sono perpetuati disegni, moduli, oggetti diversi. La sfida per i nostri ragazzi era carpire il segreto degli specchi, come la riflessione di immagini si inneschi non appena lo specchio catturi una forma.
Essa presentava principalmente sei "macchine" per ricostruire la simmetria, ciascuna costituita da tre specchi. Si trattava di tre caleidoscopi nei quali si ricostruiscono figure tridimensionali finite e tre camere di specchi che mostrano tassellazioni piane.
"Il suo scopo principale - ha detto la prof.ssa M. Dedò - dal punto di vista della matematica che vuole indagare, è quello di dare un'idea (a diversi livelli) della classificazione delle figure rispetto al loro tipo di simmetria; e l'idea centrale, dal punto di vista della comunicazione, è il fatto che, in alcuni casi, utilizzando semplicemente degli specchi, è possibile distinguere figure che hanno lo stesso tipo di simmetria o tipi di simmetria diversi, senza necessità di ricorrere al concetto matematico sottostante (che è quello del gruppo di simmetria), ma semplicemente osservando la geometria della disposizione degli specchi. Chi entra nella sala della mostra può liberamente costruirsi un percorso personalizzato. Gli studenti hanno la possibilità di confrontarsi con concetti matematici importanti e di "conquistare" autonomia nella gestione dei problemi proposti e nella valutazione dei ragionamenti che portano a cercarne le soluzioni.
Si tratta di "fare esperienza" di matematica "mettendo le mani" dentro gli oggetti, provando a costruire simmetrie: l'offerta della mostra è quella di un'esperienza in qualche modo insolita rispetto all'usuale approccio alla matematica.
Il visitatore non ascolta una lezione, ma raccoglie esperienze e materiali sui quali, in seguito, poter tornare sia per riconoscere, riordinare e valutare quanto, a proposito della simmetria, conosceva prima della visita, sia per affrontare con maggiore consapevolezza il tema della simmetria se non l'avesse mai fatto."

"La simmetria è generatrice di belle immagini, stupefacenti architetture e solide funzionalità. È uno strumento che permette ad ognuno di fare esperienza diretta di fatti matematici non banali".
Le figure sono tratte da "Il ritmo delle forme. Itinerario matematico (e non) nel mondo della simmetria." Ed. Mimesis, Milano 2001.

LE "GUIDE" ALLA MOSTRA

Con la Prof.ssa Dedò ed i suoi collaboratori ho potuto approfondire una modalità di gestione dell'attività pedagogicamente rilevante: le guide alla mostra, cioè coloro che avrebbero coinvolto nelle attività e stimolato nelle riflessioni gli studenti / visitatori, dovevano essere loro stesse degli studenti.
Gli animatori-studenti, sempre presenti durante l'orario di visita, avevano l'obiettivo di illustrare l'utilizzo degli oggetti, di suscitare curiosità nel visitatore aiutandolo a cogliere in tutta la loro ricchezza gli stimoli provenienti dagli oggetti esposti e di rispondere a eventuali quesiti. Alcune insegnanti e gli studenti dell'Istituzione Scolastica di Istruzione Classica ed Artistica di Aosta hanno accettato questa sfida, assumendo il ruolo di guide alla mostra. Riportiamo qui di seguito il loro parere su questa esperienza e sul significato che quest'attività ha rivestito nella consueta pratica didattica.
- "I bambini più piccoli mi identificavano con la maestra" (detto da tutti)
- "È stato bello essere maestra per un giorno" (Anna)
- "È stato interessante notare la reazione di meraviglia e curiosità dei bambini di fronte a cose per noi semplici e ordinarie e la passione dimostrata dai partecipanti più piccoli di fronte ai giochi didattici" (Elisa e Marica)
- "Ho potuto applicare direttamente le nozioni apprese tramite aspetti ludici e inoltre ho osservato il comportamento di chi le apprende per la prima volta e di chi le ha già studiate a scuola" (Elisabetta)
- "La mostra è risultata utile per l'interdisciplinarietà dell'argomento che consente l'applicazione in altri ambiti, come ad esempio in storia dell'arte (simmetria del motivo ornamentale di mosaici e pavimentazioni), in biologia (simmetria in natura), e in italiano (parole simmetriche)" (Sara M.)
- "Per poter far capire i concetti a persone con livelli di conoscenza diversi bisogna semplificarli al massimo, utilizzando un linguaggio chiaro" (Cristiana e Sara F.)
- "Questa esperienza ci è servita per capire le difficoltà di comprensione dei ragazzi nel mondo delle simmetrie" (Arnaldo, Mariangela, François)
- "Alcuni alunni (visitatori) non volevano più andar via dalla mostra e gli insegnanti accompagnatori hanno dovuto dire che sarebbero tornati" (Daniele)
- "Quando davamo una mano per spiegare, spesso ci ribattevano che non ne avevano bisogno". (Georgia)

L'esplorazione del concetto di simmetria in ambiti particolari

Arriva ad Aosta la mostra "Simmetria, giochi di specchi", il nome è accattivante, prendiamo le consuete informazioni e subito pensiamo di proporne la visita ai ragazzi.
Potrebbe essere un'occasione per parlare di matematica in modo più concreto e interessante; questo è in fondo il metodo di lavoro che ricerchiamo sempre e che da sempre connota i nostri percorsi didattici.
Ci mettiamo al lavoro. Ognuno di noi propone l'esplorazione del concetto di simmetria in ambiti particolari: le foglie e le lettere dell'alfabeto sembrano un buon soggetto, le case con i loro balconi e le differenti finestre ci appaiono immediatamente interessanti, anche la costruzione di caleidoscopi colorati sembra essere una buona idea; non si possono trascurare poi le figure geometriche vere e proprie da modellizzare in modo opportuno.
Le idee non ci mancano, le esplorazioni proposte sono tutte attuabili; scegliamo fra le diverse ipotesi di lavoro quella che ci sembra più confacente all'età ed agli interessi delle nostre classi.
Si tratta adesso di proporre il lavoro alle classi ed elaborare con i ragazzi un percorso che, partendo da osservazioni opportune, porti alla elaborazione di idee da dibattere nel gruppo classe.
In seguito il confronto fra le diverse esperienze ci permetterà di costruire alcuni concetti fondamentali legati alla simmetria.
Le classi vengono divise in gruppi con compiti definiti.
Il gruppo che si occupa dell'osservazione degli edifici, esplora le strade del paese armato di macchine fotografiche, fogli e matite; si fotografano scorci di palazzi significativi, si tracciano schizzi di costruzioni interessanti; in classe si rielaborano fotografie e disegni ricercando nel piano assi e centri di simmetria, valutando attentamente elementi varianti ed invarianti.
Un altro gruppo è impegnato nell'osservazione di lettere dell'alfabeto, confronta fra loro le lettere, le riflette su di uno specchio e ne studia le possibili simmetrie ortogonali. Alcune lettere sono particolarmente subdole, sembrano simmetriche ma alla prova dello specchio non c'è modo di scovare in loro un qualsiasi asse di simmetria. Tutti concordano nel dire che non basta una retta che tagli a metà la lettera o la parola per creare una simmetria. Allora la lezione è servita! Un insegnante propone la costruzione di un testo particolare, composto tutto da lettere speciali; nascono così due diversi testi: un acrostico ed uno strano brano, un po' assurdo ma simmetricamente corretto (Vita da matti a Chieti).
Il gruppo che ha preso in esame le foglie si propone di classificarle in base alla simmetria che propongono. Per alcune la nervatura principale costituisce un asse di simmetria facilmente individuabile, in altre le nervature secondarie si prestano ad interessanti osservazioni rispetto all'orientazione, alcune non sono simmetriche, altre permettono l'individuazione di un modulo, il segmento di foglia fra la nervatura principale ed una secondaria, che opportunamente ripetuto, permette di continuare la foglia disegnando un rosone a otto punte.
La considerazione diffusa nella classe è che la natura è sì spesso simmetrica, ma di una simmetria parziale non sempre perfetta e forse anche per questo affascinante.
La costruzione dei caleidoscopi viene seguita anche dall'insegnante di artistica. Viene costruito inizialmente un cilindro, ad una delle basi viene incollato un foglio disegnato; all'interno del cilindro viene inserito un prisma triangolare le cui facce laterali sono degli specchi e la cui base è la superficie del cilindro stesso. La visione è d'effetto, le immagini si perpetuano negli specchi e si rielaborano in modo fantasioso e spettacolare. All'insegnante non basta e subito propone alcune insidiose domande (ad esempio: che tipo di triangolo è? Potresti avere per base un triangolo diverso?) sulla natura del triangolo di base del prisma (è un triangolo equilatero) e sulla possibilità di costruzione di prismi con triangoli di base diversa per stimolare ulteriormente l'analisi del fenomeno. Per poter rispondere bisognerà esercitarsi ancora con due specchi incidenti costruiti in modo tale che uno possa muoversi e far variare l'angolo. Osservare la relazione fra il numero delle immagini riflesse e la misura dell'angolo, considerare l'orientazione delle immagini costituisce un ampio momento di studio e dibattito nella classe.
Non tutte le risposte vengono date subito, rimane ancora la visita alla mostra per chiarirsi le idee e trovare soluzioni ai problemi sorti o, forse, per considerare nuove situazioni problematiche con le quali confrontarsi.

Rosanna Fassy, Adalgisa Fey, Giuseppina Gonfaloni, Elisabetta Meynet

CONCLUSIONE

La visita alla mostra non voleva costituire un episodio isolato dall'attività didattica, ma in alcuni casi lo è stata. Alcune classi hanno utilizzato l'esperienza come stimolo iniziale per un percorso di studi da continuare in classe, altre hanno fatto precedere la visita da attività preparatorie d'indagine e riflessione sul concetto di simmetria utilizzando anche come laboratorio il territorio. Gli edifici, le finestre, i cornicioni di Pont-St-Martin sono diventati, ad esempio, oggetto di studio prestandosi ad un'osservazione inconsueta. Studiare regolarità, assi e centri di simmetria dal "vivo", è quanto hanno fatto le insegnanti della Scuola media di Pont-St-Martin, svolgendo il percorso didattico che presentiamo nel riquadro sopra.
Coloro che intendessero continuare a seguire le attività della mostra o che volessero, per la prima volta, entrare in contatto con questa esperienza didattica troveranno sul sito http://specchi.mat.unimi.it informazioni aggiornate ed un archivio di attività realizzate dalle scuole. Le esperienze riportate sono suddivise in quattro sezioni: scuole elementari, scuole medie inferiori, scuole superiori e altro. Vi si trovano lavori sui fregi, sulle pavimentazioni, sui poliedri...
Il sito è in continua espansione e sono ben accettati i nuovi contributi. I visitatori della mostra hanno la possibilità di partecipare ad un forum nel quale possono esprimere opinioni in merito alle sollecitazioni ricevute. La mostra prevede un allestimento stabile a Milano (Via Saldini) presso il Dipartimento di matematica dell'Università degli Studi e una versione itinerante, sulla base di eventuali richieste.

Gianna Bellò
Insegnante di Scienze e Matematica nella Scuola Media dell'Istituzione Scolastica "Comunità Montana Mont Rose A". È responsabile del Centro Risorse per la Didattica della Matematica.