Le trasformazioni geometriche in matematica e fisica

Il percorso didattico, elaborato grazie al lavoro di collaborazione di due insegnanti, verte sull'insegnamento delle trasformazioni geometriche in matematica e fisica nel triennio del liceo scientifico. L'attività viene svolta proseguendo la trattazione sintetica ed empirico-sperimentale già avviata nel biennio.

Nel presentare la nostra proposta ci sembra importante definirne i contenuti nell'ambito della didattica vista come problema complesso. Non vi è dubbio, infatti, che il problema dell'insegnare non sia né un problema semplice né un problema complicato suddivisibile in problemi semplici, ma è un problema complesso difficilmente scomponibile.
Ogni argomento, oggetto della trasmissione del sapere, è inserito in diversi contesti di conoscenza e con questi è strettamente intrecciato. Il tema delle trasformazioni geometriche del piano, in particolare nei Licei Scientifici, è un esempio di sapere intrecciato che offre notevoli spunti interdisciplinari, in particolare con la fisica, e ben si presta ad essere affrontato secondo un percorso a spirale.
La nostra proposta si riferisce all'insegnamento delle trasformazioni geometriche in matematica e fisica. Tale percorso, schematico dal punto di vista analitico, viene svolto nel triennio, proseguendo la trattazione sintetica ed empirico-sperimentale già avviata nel biennio.
Il lavoro svolto nelle nostre classi relativamente all'insegnamento delle trasformazioni geometriche del piano in sé permette di passare via via dall'isometria, alla dilatazione, all'omotetia e, per finire, alla similitudine e alle affinità.
Il percorso descritto non può prescindere dall'ordine sequenziale con il quale è presentato in classe. Ci sembra molto efficace, però, procedere seguendo un andamento a spirale, coinvolgendo anche la Fisica, ampliando e approfondendo quindi argomenti già trattati in modo da muoversi sempre più in direzione di maggior formalizzazione e astrazione.
In terza liceo si introduce il piano cartesiano e la Geometria Analitica partendo dalla rappresentazione dei punti, analizzando le loro proprietà legate alle coordinate e associando ad essi il concetto di funzione.
Le trasformazioni del piano in sé, in particolare le simmetrie assiali e centrali rispetto agli assi di riferimento, si possono introdurre come estensione analitica delle conoscenze di geometria euclidea, già consolidate nel biennio, e procedere fino a giungere alle equazioni che esplicitano tale relazione anche in ambito algebrico. Il piano euclideo in realtà giace sempre sotto al piano cartesiano e ne costituisce un sottoinsieme metrico: la geometria e le proprietà delle figure non variano, sempre in un'ottica di continuità con il biennio.
Si possono proporre esempi di vario tipo, tra questi il seguente:
Dato un punto disegnato nel piano a caso, si introduce il sistema di riferimento e si associano ad esso le coordinate come distanze relative dagli assi; successivamente si chiede agli studenti di disegnarne i simmetrici rispetto agli assi cartesiani e rispetto all'origine e di individuarne le coordinate; infine di ipotizzare le relazioni tra le coordinate del punto dato e quelle dei suoi trasformati.
Questo procedimento potrà essere ripreso in quarta quando, in goniometria, si introducono gli angoli associati: le relazioni tra le funzioni goniometriche di questi e degli associati dei complementari sono immediatamente riconosciute se legate alle simmetrie.
Quando, sempre in terza, il concetto di funzione sarà proposto come relazione tra numeri reali, quindi come relazione tra punti appartenenti alla retta reale, e il suo grafico come una possibile rappresentazione del prodotto cartesiano RxR, si possono ricavare le proprietà di parità, disparità e invertibilità delle funzioni analizzando particolari simmetrie.
Una funzione è pari se e solo se f(-x) = f(x) ma anche se il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate; così come la simmetria rispetto all'origine rivela che la funzione è dispari. Se una funzione è invertibile il grafico dell’inversa si ottiene per simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.
Utilizzando le simmetrie dei grafici rispetto agli assi coordinati si introduce abbastanza agevolmente il significato di valore assoluto ed è possibile arrivare graficamente alla rappresentazione di |f(x)| e di f(|x|) trasformando quello di f(x).
L'argomento può essere completato dimostrando che una simmetria è una particolare isometria, una trasformazione cioè che mantiene le distanze: per esempio fornendo le coordinate di due punti si chiede di verificare che la loro distanza coincida con quella dei loro simmetrici le cui coordinate devono essere trovate algebricamente applicando le equazioni della trasformazione.
Considerato il numero limitato di ore a disposizione in fisica, visto il buon bagaglio in geometria, è necessario applicare al massimo il concetto di modello matematico per permettere agli studenti di utilizzare le stesse relazioni viste in matematica nello studio di fenomeni, anche se caratterizzati da grandezze fisiche diverse.
Quando si affronta l'equilibrio si possono trovare le coordinate del baricentro di un corpo omogeneo piano e regolare. È possibile far sì che gli studenti stessi riescano da soli ad intuire come le simmetrie viste all'inizio dell'anno scolastico conducano ad approfondimenti e riflessioni nella statica dei corpi non vincolati.
Nell’ambito delle prime lezioni di fisica si incontrano i concetti di riduzione in scala delle misure, di proporzionalità diretta e inversa tra grandezze, argomenti che possono introdurre il concetto di dilatazione e di omotetia da svolgere in quarta. Persino la modifica di una finestra di dialogo in Windows è un'ottima occasione per introdurre il concetto di glissosimmetria e di dilatazione.
Proponendo differenti grafici di funzioni dilatate sia in orizzontale sia in verticale appare chiaro come sia possibile ricavare le equazioni della dilatazione partendo dall’osservazione diretta del piano cartesiano. Allo stesso risultato, anche se in maniera più empirica, si giunge attraverso il confronto diretto di rappresentazioni tabellari.
Si possono proporre, sfruttando un foglio di calcolo, le rappresentazioni di y=sen(hx) e y=ksenx e la loro composizione y=ksen(hx). È possibile, poi, confrontare le tabelle dei loro valori, ricavando importanti proprietà del grafico: non variano le intersezioni con l'asse perpendicolare alla dilatazione, la pendenza del grafico trasformato aumenta, la dilatazione su y è proporzionale al fattore di proporzionalità indicato dal parametro k mentre su x è inversamente proporzionale al parametro h.

Diventa naturale il legame con le equazioni dei moti armonici e delle onde: la dilatazione orizzontale è legata alla frequenza dell'onda, quella verticale all'ampiezza dell'oscillazione.
In quarta, infine, si studia la geometria solida euclidea e in particolare il principio di Cavalieri per il confronto dei volumi dei solidi: l'omotetia e i rapporti ben si prestano ad interpretare le figure solide e a risolvere i problemi per via sintetica.
La fisica della classe terza offre tre notevoli spunti come approfondimenti delle traslazioni:
1) i vettori e le loro componenti;
2) lo studio del moto relativo con le trasformazioni galileiane;
3) la legge dei gas perfetti con t=T+273.15.
In tutti questi casi, seguendo l'evoluzione storica dei concetti e sfruttando ciò che gli studenti già conoscono sulle traslazioni, è spontanea la discussione e la nascita delle equazioni delle trasformazioni che in fisica hanno un concreto significato e che, talvolta, non sono né semplici da introdurre né di facile assimilazione.
In quarta, generalmente nel secondo quadrimestre, si studia anche l'ottica ed è particolarmente ben riuscito il collegamento tra proiezioni, omotetie e la generazione delle ombre per giustificare: la propagazione rettilinea della luce, la legge dell'irraggiamento (proporzionalità con 1/m²), le eclissi con un'appendice all'astronomia, senza contare l'importanza che hanno, nel corso di disegno, la rappresentazione in scala, le proiezioni ortogonali e lo studio delle ombre, argomenti che offrono spunti per approfondimenti multidisciplinari.
È noto dallo studio precedente, se non lo è questa è un'ottima occasione per spiegarlo, che ogni isometria si può pensare come composizione di al più tre simmetrie assiali; sfruttando le simmetrie e la composizione di funzioni si può quindi passare alla traslazione o alla rotazione.
Generalmente la traslazione è argomento di terza mentre la rotazione è affrontata in quarta per il suo legame alla goniometria.
Le coniche in quarta vengono affrontate grazie a traslazioni. Gli studenti vengono invitati a riconoscere la conica e, attraverso il completamento del quadrato, ottenerne l'equazione canonica traslata. In quarta, grazie ai primi elementi di goniometria, è possibile cercare le equazioni delle rotazioni.

È utile applicare dapprima il sistema di equazioni alle coordinate dei vertici di un triangolo qualunque. Il triangolo ABC e il suo trasformato A'B'C', disegnati nello stesso S.R. permetteranno di individuare con chiarezza l'angolo a di rotazione.
Le equazioni delle rototraslazioni:

saranno, infine, determinate a partire dagli stessi studenti, grazie alle capacità di astrazione ormai acquisite.
La naturale applicazione del lavoro svolto fin qui in geometria analitica è l'applicazione delle coniche rototraslate in Astronomia. Proponiamo nel box il lavoro descritto come "L'orbita dell'EXPLORER 35". Tale attività ha permesso di intrecciare la matematica e la fisica in maniera particolarmente efficace. Tale esperienza viene generalmente affrontata dai ragazzi in maniera entusiastica, probabilmente perché gli studenti si rendono conto di essere parte attiva nella costruzione del loro sapere. Grazie alle proprietà dell'ellisse, alle leggi di Keplero, alla legge di gravitazione universale e, non ultimo, al foglio elettronico, l'importanza del modello matematico, più volte sottolineata, assume caratteristiche reali e gli allievi ne percepiscono completamente l'importanza.

CONCLUSIONI

A questo punto l'essenziale è stato presentato, ma non esaurisce certo l'argomento delle trasformazioni geometriche. Nel corso dei tre anni, gli studenti hanno modo di applicare ciò che hanno studiato, sono in grado di riconoscere alcuni invarianti per le trasformazioni, riconoscono il metodo scientifico e sono autonomi nel procedere. Il grado di soddisfazione è buono sia per i docenti coinvolti sia per gli allievi che sono consapevoli dei progressi da loro compiuti.

Mappa concettuale percorso proposto

Legenda: classe terza, classe quarta, classe quinta

Marina Villani
Orianna Cremonese
Insegnanti di Matematica e Fisica press il Liceo scientifico di Aosta

Bibliografia
AMALDI U., La fisica per i Licei Scientifici, Vol. 1, 2, 3, 1998, Zanichelli, Bologna
ORIOLO P., CODA A., Matematica, Vol.2, 1996, ed. Scolastiche Mondatori, Milano
BATTIMELLI G., STILLI, R., Le vie della fisica, Vol.2, 1998, Laterza, Roma-Bari
Piccato A., Dizionario dei termini matematici, 1987, Rizzoli, Milano